Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Мы увидели, как с помощью систем итерируемых функций можно получить некоторые классические фракталы, и показали, как при последовательном выполнении аффинных преобразований формируется некий аттрактор. Тем не менее по-настоящему интересно то, что для любого изображения можно описать систему итерируемых функций, аттрактором которой будет данное изображение. Другими словами, мы решим обратную задачу фрактальной геометрии.

В этом смысле одним из важнейших открытий является теорема коллажа, которую сформулировал Барнсли в 1985 г. Допустим, дано некоторое множество L и соответствующая система итерируемых функций. Чтобы узнать, в какой степени эта система функций аппроксимирует L, построим отображение L для каждой функции и объединим их в одно общее изображение. Отличие между исходным и полученным изображением подскажет, как можно приближенно описать множество L с помощью данной системы функций.

Например, допустим, что дано изображение кленового листа и мы хотим описать его с помощью системы итерируемых функций. Так как в теореме коллажа не уточняется, какую систему нужно выбрать, лучше довериться интуиции и попытаться сформировать коллаж из различных копий исходного изображения листа. Чтобы упростить процесс, в нашем примере мы будем использовать только аффинные преобразования и ограничимся тремя функциями. На следующих изображениях показано преобразование каждой копии, выделенное прямоугольной рамкой. Представим, что преобразованные копии являются прозрачными, и расположим их поверх исходного изображения. На рисунке черным цветом выделены покрытые части исходного изображения. Части изображения, выделенные разными оттенками серого, по теореме коллажа указывают, насколько далек аттрактор системы итерируемых функций от искомого изображения.