![Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) - Читать Любимую Русскую Полную Книгу 👉 Read-E-Book.com](/uploads/posts/books/3/5/7/1/9/novyj-vzglyad-na-mir-fraktalnaya-geometriya-mir-matematiki-t-10-download.jpg)
Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)
- Автор: Басса Мария Изабель Бинимелис
- Год: 2014
- Язык: русский
- Год: ООО «Де Агостини»
- ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0623-9 (т. 7)
- Жанр: Математика
Электронная книга - «Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)». Краткое содержание книги:
Множество Мандельброта, также именуемое множеством М, обладает многими примечательными свойствами. Возможно, самое привлекательное и загадочное из них таково: это множество бесконечно сложно, но строится по очень простым правилам, понятным любому, кто умеет складывать и умножать. Однако стоит отметить, что при построении множества Мандельброта сложение и умножение придется выполнить несколько триллионов раз. Поэтому множество Мандельброта было открыто только с появлением современных компьютеров.
Как мы расскажем позднее, теоретические основы, благодаря которым открытие множества Мандельброта стало возможным, были сформированы в 20-е годы прошлого столетия усилиями французских математиков Гастона Жюлиа (1893–1978) и Пьера Фату (1878–1929). В 1918 г. Жюлиа опубликовал несколько статей о комплексных числах, где описал свойства определенных множеств, которые в то время нельзя было изобразить графически. Позднее эти множества получили название множеств Жюлиа.
В 1978 г. французский математик Адриен Дуади (1935–2006) и американец Джон Хамал Хаббард (р. 1945) с помощью специально созданной программы смогли получить первые изображения множеств Жюлиа — нечеткие и невысокого качества. Годом позже Мандельброт опубликовал собственные изображения, полученные в научно-исследовательском центре IBM. Первое изображение множества Мандельброта датируется 1981 г. Оно было получено совместными усилиями Роберта Брукса и Петера Мательски.
Дуади и Хаббард подробно изучили множество Мандельброта, доказав, что оно является связным и компактным и что его внутренняя часть состоит из счетного множества компонентов. Наконец, они же записали каноническую формулу множества Мандельброта — квадратичную комплексную функцию z2 + с.
В свое время Мандельброт сказал, что крупнейшей проблемой для исследователей при изучении этого множества станет написание алгоритма его визуализации. В своей книге «Фрактальные объекты» он признает первенство работ Жюлиа и Фату, а также отмечает: «Я работал так, как ненавидят работать теоретики: я любовался незабываемыми картинами, используя компьютер как микроскоп, имея в своем распоряжении примитивные инструменты 1980 года».
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА НЕ ТАК СЛОЖНЫ, КАК МОЖЕТ ПОКАЗАТЬСЯ
Вещественные числа обозначают все точки, расположенные на числовой прямой, причем каждому числу соответствует точка и каждой точке соответствует число. Существуют правила сложения, вычитания, умножения и деления вещественных чисел. Так называемые комплексные числа определяются аналогичным образом стой лишь разницей, что им в соответствие ставятся точки, расположенные не на прямой, а на плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Существует три способа определения комплексных чисел: в прямоугольной системе координат, в полярных координатах и в алгебраической форме. Комплексные числа обычно обозначаются буквой z. В прямоугольных координатах любому комплексному числу z сопоставлена точка с двумя координатами — вещественной и мнимой. Мнимые координаты откладываются на вертикальной оси, мнимая единица обозначается буквой i. Мнимое число i является квадратным корнем из -1. Именно поэтому комплексные числа долгое время назывались мнимыми. Они не так сложны, как может показаться, и благодаря им удалось упростить многие теории и формулировки. Для обозначения комплексных чисел на плоскости используется прямоугольная система координат, в которой по горизонтальной оси откладывается значение вещественной части, по вертикальной оси — значение мнимой части. Запишем одно и то же комплексное число через декартовы координаты, в алгебраическом виде и в полярных координатах:
z = (1/2, √3/2) = (1/2) + (√3/2i) = 160°
В этой формуле z — комплексное число, вещественная часть которого равна 1/2, мнимая — √3/2. Это равносильно тому, что радиус-вектор соответствующей точки комплексной плоскости имеет длину 1 и образует угол в 60° с горизонтальной осью. Для сложения двух комплексных чисел достаточно сложить по отдельности их вещественные и мнимые части. Например, если z1 = (-2,4) и z2 = (3,1), их сумма равна (1, 5). Если представить эти числа графически, то мы увидим, что их сумма — это всего лишь точка на диагонали параллелограмма, образованного радиус-векторами этих чисел. Чтобы выполнить умножение, достаточно следовать простым правилам: i2 заменяется на -1, так как i равно квадратному корню из -1: