Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Обычно считается, что пространство и время непрерывны. Некоторые философы также утверждают, что непрерывными являются все процессы в природе. Отсюда и знаменитый афоризм Лейбница: Natura non facit saltus («Природа не делает скачков»). В привычном смысле «непрерывный» означает «непрестанный, происходящий без перерывов». В математике, где точность имеет первостепенное значение, путь к точному определению непрерывности был долог и тернист. Даже определение функции долгое время было связано с понятием непрерывности[19].

В терминах современной математики выразить утверждение, похожее на изречение Лейбница, довольно сложно. В последние годы XVIII в. считалось, что для непрерывных функций бесконечно малое изменение аргумента ведет к бесконечно малому изменению значения функции. В XIX в. ученые отказались от понятия «бесконечно малое»[20], и это определение было заменено другим, где использовалось более точное понятие предела.

Если мы скажем, например, что функция не делает скачков, на языке математики это будет недостаточно точно. В попытках дать более точное определение можно прийти к следующему: график непрерывной функции должен быть связным (то есть его нельзя разделить на два открытых множества, пересечение которых будет пустым множеством), однако, возможно, следует сказать, что он должен быть линейно связным[21] (любые две его точки можно соединить дугой некой кривой).

В действительности понятия функции, непрерывности и дифференцируемости имеют точные определения, которые изучаются в старших классах средней школы. В настоящее время функция называется непрерывной в точке, если односторонние пределы функции в этой точке совпадают с ее значением в этой точке[22]. Однако при изучении функций часто бывает недостаточно анализа одной лишь непрерывности и возникает необходимость в определении каких-то дополнительных свойств. Одним из таких свойств является равномерная непрерывность. Равномерная непрерывность означает, что небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции и, кроме того, величина этих изменений зависит от величины изменений аргумента, а не от самого значения х (отсюда и характеристика «равномерная»). Любая равномерно непрерывная функция является непрерывной, но не наоборот.