Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Если построить три копии кривой Коха на сторонах равностороннего треугольника, получится так называемая снежинка Коха. Эта кривая обладает удивительным свойством: ее длина бесконечна, а площадь закрашенной области — нет.

Мы уже определили понятие размерности для любых объектов и увидели, что существуют кривые, подобные кривым Гильберта и Пеано, которые имеют размерность 1, но покрывают область размерностью 2. Возникает необходимость дать понятию размерности другое определение, которое согласовывалось бы с результатами наших наблюдений. Кривая Коха будет идеальным примером, который проиллюстрирует наши рассуждения. Новая размерность, о которой мы поговорим далее, называется фрактальной размерностью. Затем мы продемонстрируем фрактальную размерность для фигур, не обладающих свойством самоподобия.

Понятие самоподобия более подробно обсуждается в следующей главе. Здесь же мы укажем лишь его некоторые основные свойства. Объект обладает самоподобием, если имеет ту же форму, что и его части. Части самоподобного объекта могут быть получены путем преобразований этого объекта, которые называются преобразованиями подобия. Например, если мы возьмем кривую Коха, уменьшим ее в три раза и сделаем три копии новой, уменьшенной кривой, то сможем соединить их так, что получится новая кривая Коха. Мы последовательно расположим копии кривой так, что первая будет располагаться горизонтально, вторая — с поворотом на 60°, третья — с поворотом на —60°, четвертая — вновь горизонтально.

Этим свойством обладают и другие, даже самые простые объекты: например, можно уменьшить отрезок в два раза, соединить между собой две его уменьшенные копии и снова получить исходный отрезок. Нечто подобное можно сделать с квадратом: его можно уменьшить в четыре раза, затем соединить четыре уменьшенные копии и снова получить исходный квадрат. Во всех структурах, обладающих свойством самоподобия, существует взаимосвязь между коэффициентом уменьшения r (коэффициентом масштаба) и количеством частей n, на которые делится исходный объект. Рассмотрим эту взаимосвязь подробнее.

В случае отрезка коэффициент уменьшения r = 1/2, а для восстановления исходного отрезка нужно n = 2 копии. Если коэффициент уменьшения r равен 1/3, то нам понадобится n = 3 копии. Следовательно, во всех случаях n = 1/r. В случае квадрата для коэффициента уменьшения r = 1/2 потребуется n = 4 копии, чтобы восстановить исходный квадрат. Если коэффициент уменьшения r равен 1/3, то нам понадобится n = 9 копий. Во всех случаях будет выполняться соотношение n = 1/г2.