![Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) - Читать Любимую Русскую Полную Книгу 👉 Read-E-Book.com](/uploads/posts/books/3/5/7/1/9/novyj-vzglyad-na-mir-fraktalnaya-geometriya-mir-matematiki-t-10-download.jpg)
Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)
- Автор: Басса Мария Изабель Бинимелис
- Год: 2014
- Язык: русский
- Год: ООО «Де Агостини»
- ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0623-9 (т. 7)
- Жанр: Математика
Электронная книга - «Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)». Краткое содержание книги:
Приближение кривой ломаными.
Кривая называется спрямляемой, если длины вписанных в нее ломаных стремятся к определенному общему значению L, когда длины отрезков ломаных стремятся к нулю, то есть отрезки становятся все короче и короче. Это общее значение L и будет длиной заданной кривой. Для вычисления площадей используются аналогичные рассуждения с той лишь разницей, что вместо длин отрезков вычисляется площадь прямоугольников.
В приведенном примере мы используем различные объекты, имеющие топологическую размерность 1 (отрезки), чтобы вычислить приближенное значение объекта такой же размерности (кривой). Алгоритм действий удивительно остроумен и в то же время интуитивно понятен.
Существует ли вероятность аппроксимации объектов любой евклидовой размерности с помощью других объектов меньшей размерности? Например, можно ли найти приближенное значение площади квадрата с помощью кривой? Интуитивно понятно, что это невозможно: кривые не имеют толщины, следовательно, не могут покрывать пространство полностью. Иными словами, объект, имеющий топологическую размерность 1 (кривую) нельзя преобразовать в объект размерности 2 (например, в квадрат). Кажется, что предполагать обратное было бы попросту нелепо.
Итальянский математик Джузеппе Пеано в 1890 г. открыл непрерывную кривую, проходящую через все точки квадрата с единичной стороной, то есть кривую размерности 1, которую можно преобразовать в объект размерности 2. Пеано следовал тем же путем, что и Кантор, который ранее доказал противоречащее интуиции утверждение: мощность бесконечного множества точек отрезка единичной длины равна мощности бесконечного множества точек любой поверхности, например квадрата с единичной стороной. Подробнее мы рассмотрим это революционное открытие несколько позже[18].
Интуиция подсказывает, что непрерывная кривая — это «путь, которым следует точка при непрерывном движении». Чтобы устранить неоднозначность определения и подчеркнуть значимость открытия Пеано, Жордан в 1887 г. ввел следующее строгое определение непрерывной кривой: «Непрерывная кривая является непрерывным отображением отрезка, определенным для всех точек единичного отрезка». Стандартный алгоритм построения кривой Пеано — это повторяющийся процесс, при котором каждый из девяти отрезков исходной кривой заменяется кривой, сгенерированной на каждой итерации алгоритма.
Девять отрезков исходной кривой приведены на рисунке ниже (первый отрезок обозначен цифрой 1 и так далее):
Затем процесс повторяется для каждого из девяти исходных отрезков (иными словами, каждый из девяти отрезков заменяется всем рисунком) и так далее. В результате получим кривую следующего вида (на нижней тройке изображений углы срезаны, чтобы наглядно показать, что кривую Пеано можно построить, не отрывая карандаша от бумаги).
После бесконечного числа итераций кривая Пеано примет форму квадрата.
Однако сам Пеано нашел лишь аналитическое построение, но не определил этот итеративный процесс и также не смог изобразить эту кривую графически (однако он привел рисунок в виде перевернутой восьмерки, чтобы показать непрерывность найденной им кривой). Пеано просто показал, как именно график найденной им функции будет постепенно заполнять квадрат. Другие математики в попытках графически представить абстрактную функцию, описанную Пеано, предложили итеративный алгоритм ее построения, показанный на рисунках выше, а также на следующем рисунке:
Как следствие, мы не знаем, какую именно из этих кривых можно назвать собственно кривой Пеано. Обе они в пределе образуют одну и ту же фигуру — квадрат.
В статье Пеано, которая была опубликована в 1890 г., впервые описывалась кривая, покрывающая плоскость.
Также существуют варианты кривой Пеано, которые не покрывают плоскость. Одну из них можно получить аналогичным преобразованием исходных девяти отрезков с тем отличием, что вертикальные линии будут короче горизонтальных.
Еще одну кривую подобного вида можно получить, если удалить центральный отрезок. Эта кривая обладает интересным свойством: ее график является непрерывным, но функция, которая определяет эту кривую, непрерывной не является.
18
Преобразование, открытое Кантором, взаимно однозначно, но не непрерывно. Пеано, напротив, ставил целью найти непрерывное преобразование единичного отрезка в квадрат с единичной стороной, которое не было бы взаимно однозначным (иными словами, несколько точек единичного отрезка отображались бы в одну и ту же точку). Это означало, что отрезок единичной длины и квадрат с единичной стороной не являются эквивалентными. Строгое доказательство этому нашел голландский математик Ян Брауэр в 1911 г.