Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

В целом говорят, что множество имеет топологическую размерность п, если наименьшая возможная кратность его покрытия равна n + 1. Следовательно, говорят, что топологическая размерность первой фигуры (кривой) равна 1, размерность второй фигуры (области) равна 2. Точка является 0-мерной, линия — одномерной, плоскость — двумерной, а евклидово пространство n является n-мерным.

С этой точки зрения размерность произвольного пространства (точки, линии, поверхности и других) соответствует минимальному числу параметров, необходимых, чтобы описать различные точки этого пространства. Например, чтобы описать все точки плоскости, достаточно всего двух координат: абсциссы (которая, например, определяет длину) и ординаты (определяет ширину). Пространство требует наличия уже трех координат: длины, ширины и высоты.

Необходимость ввести определение топологической размерности была в значительной степени вызвана тем, что традиционное определение размерности (в котором фигурировали интуитивно понятные и неточные термины, например «тонкость») было поставлено под сомнение в последние годы XIX в. Первое определение следует из доказательства Кантора, которое подтверждает взаимно однозначное соответствие между множеством точек вещественной прямой 1 и вещественной плоскости 2.Второе определение основано на том, что существует непрерывная функция 1 на 2, открытая Пеано.