Жемчужина Эйлера

Мне нравится находить закономерности — особенно в визуальных образах — и разбираться в запутанных логических рассуждениях. Книжные полки в моем кабинете забиты сборниками задач и головоломок, на полях которых сохранились мои детские пометки. Передвинуть три спички, чтобы образовалась новая фигура, найти в лабиринте путь, удовлетворяющий определенным условиям, разрезать заданную фигуру на части, из которых можно сложить квадрат, добавить в чертеж три отрезка, чтобы получилось девять треугольников, и другие задачки такого рода. Вот чем для меня является математика.

Из-за любви к пространственным, визуальным и логическим задачам я всегда испытывал влечение к геометрии. Но, учась в колледже, я открыл для себя очарование топологии, которую обычно определяют как изучение нежестких фигур. Сочетание красивой абстрактной теории с конкретными пространственными манипуляциями точно отвечало моим математическим вкусам. Гибкое и свободное топологическое представление о мире вселяло в меня ощущение комфорта существования. По сравнению с ним геометрия казалась такой пуританской и консервативной. Если геометрия облачена в строгий пиджак, то топология носит джинсы и футболку.

Эта книга посвящена истории и прославлению топологии. Рассказ начинается с предыстории — геометрии античной Греции и Возрождения и изучения многогранников. Затем мы перейдем к XVIII и XIX столетиям, когда ученые пытались ухватить идею формы и классифицировать объекты, не ограничиваясь жесткими рамками геометрии. И кульминационной точкой станет современная топология, получившая развитие в начале XX века.

В школе и в вузе мы изучали математику по учебникам. В учебниках математика излагается строгим, логически последовательным образом: определение, теорема, доказательство, пример. Но открывали математику не так. Много лет уходило на то, чтобы понять предмет настолько хорошо, чтобы связно изложить его в учебнике. Математика развивается то медленно и постепенно, то гигантскими скачками, бывают шаги в ложном направлении, за которыми следуют исправления и установление связей. В этой книге мы увидим увлекательный процесс математического открытия в действии — как блестящие умы размышляют, задают вопросы, уточняют, развивают и изменяют работы своих предшественников.

Я не стал просто излагать историю топологии, а взял формулу Эйлера для многогранников в качестве путеводителя. Открытая в 1750-м, формула Эйлера знаменует начало перехода от геометрии к топологии. Мы проследим, как эта формула из любопытного курьеза превратилась в глубокую и полезную теорему.

Формула Эйлера — идеальный путеводитель, потому что заводит в изумительные помещения, куда редко заглядывают посетители. Идя по ее следам, мы познакомимся с самыми интригующими областями математики — геометрией, комбинаторикой, теорией графов, теорией узлов, дифференциальной геометрией, динамическими системами и топологией. С этими красивейшими предметами типичный студент, даже специализирующийся в математике, может никогда не встретиться.