Гильберт
- Автор: Рид Констанс
- Год: 1977
- Язык: русский
- Год: Наука
- Переводчик: Игорь Владимирович Долгачев
- Жанр: Биографии и мемуары
Электронная книга - «Гильберт». Краткое содержание книги:
Рассчитанная на самый широкий круг читателей, книга будет интересна не только любителям математики, но и всем, кто интересуется историей науки.
В этой речи он ответил на различные критические высказывания о его программе: «каждое из которых я считаю столь несправедливым, насколько это вообще возможно». Он даже вспомнил замечания Пуанкаре, высказанные им в своей гейдельбергской речи. «К сожалению, Пуанкаре, самый плодовитый и богатый идеями среди математиков своего поколения, имел определённое предубеждение к теории Кантора, не позволившее составить справедливое мнение о великолепных понятиях, введенных Кантором». Что касается самых последних исследований, бoльшую часть которых занимает программа Брауэра, то «тот факт, что исследования оснований снова вызывают такой живой интерес и приобретают столь важное значение, безусловно, доставляет мне большое удовольствие. Однако когда я раздумываю над содержанием и результатами этих исследований, то по большей части я не могу согласиться с их тенденцией; мне даже кажется, что в своём большинстве они отстают во времени, как будто они возникли в те времена, когда ещё не был открыт величественный мир идей Кантора». Всё его выступление носило сильно полемический характер. «Даже набросок моего доказательства континуум-гипотезы Кантора не остался без критики!» — пожаловался Гильберт, на сей раз подробно обсуждая это доказательство.
Игра с формулами, «которую столь недооценивает Брауэр», указал он, позволяла математикам выражать единым образом всё идейное содержание математической науки, а также развивать её таким образом, чтобы одновременно прояснялись внутренние связи между различными предложениями и фактами. Помимо своего математического интереса, она имеет важное общефилософское значение.
«В самом деле, эта игра с формулами ведётся по некоторым определённым правилам, отражающим образ нашего мышления. Эти правила образуют чётко выраженную систему, которую можно обнаружить и явно определить. Основная цель моей теории доказательства есть не что иное, как описание процесса нашего мышления, позволяющее запротоколировать те правила, которым подчиняется в действительности наше мышление... Из всего многообразия явлений и наблюдений это, пожалуй, единственное, что заслуживает стать предметом серьёзного и тщательного исследования. Действительно, в конце концов, оно представляет собой часть общей задачи науки — освободить нас от случайности, предвзятости личных настроений и привычек и защитить от субъективизма, который уже чувствовался во взглядах Кронекера и, по моему мнению, нашёл своё кульминационное выражение в интуиционизме!..»
Правда, признался Гильберт, доказательство непротиворечивости формализованной арифметики, предназначенное «определить эффективные рамки теории доказательства и вообще составить её сердцевину», ещё не было получено. Но заканчивал он своё выступление вполне оптимистически: такое доказательство будет найдено.
«Уже сейчас я хотел бы сформулировать окончательный результат: математическая наука не нуждается в специальных предположениях. Чтобы построить её основы, мне не нужны ни бог, в котором нуждался Кронекер, ни предположения о специальном качестве нашего мышления, связанные с принципом математической индукции, как этого требовал Пуанкаре, ни первичная интуиция Брауэра, ни, наконец, аксиомы бесконечности, приводимости или полноты Рассела и Уайтхеда...»
Давид Гильберт и Герман Вейль в середине двадцатых годов.
Когда Гильберт кончил, поднялся Герман Вейль, чтобы сделать несколько замечаний. Любовь Вейля к своему старому учителю не поколебалась после пятилетнего спора. Хотя его энтузиазм к идеям Брауэра несколько поубавился, он решил, что сейчас он должен его защитить.
«Брауэр был первым, кто ясно и в полной мере осознал, что математика фактически повсюду далеко превысила границы содержательного мышления. Я думаю, что мы все обязаны ему за выявление этой ограниченности содержательного мышления. В содержательных моделях, предназначенных для установления непротиворечивости формализованной математики, Гильберт полностью осознает эту ограниченность как само собой разумеющуюся; здесь уже не может идти речи о каких-либо искусственных запрещениях. Тем самым, мне кажется вполне естественным, что идеи Брауэра нашли своих последователей; его позиция была вызвана необходимостью, которую разделяли все математики до того, как Гильберт предложил свой формальный подход, и составляет новый, безусловно, фундаментальный логический подход, который признаёт даже Гильберт.
То, что эта точка зрения сохраняет лишь часть, быть может, изувеченную часть классической математики, является горьким и неизбежным фактом. Гильберт не мог вынести такого увечья. И уже другое дело, что ему удалось спасти классическую математику с помощью радикального переосмысления её значения, не уменьшая её инвентаря. Он формализует её и принципиально преобразовывает её таким образом, что из системы интуитивных результатов она превращается в игру с формулами, которая происходит в соответствии с фиксированными правилами.