![Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) - Читать Любимую Русскую Полную Книгу 👉 Read-E-Book.com](/uploads/posts/books/3/6/5/1/3/zolotoe-sechenie-matematicheskij-yazyk-krasoty-mir-matematiki-t-1-download.jpg)
Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)
- Автор: Корбалан Фернандо
- Год: 2014
- Язык: русский
- Год: ООО «Де Агостини»
- ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0641-3 (т. 1)
- Жанр: Математика
Электронная книга - «Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)». Краткое содержание книги:
Фn = аn∙Ф + аn-1
Теперь рассмотрим некоторые другие связи между этими двумя понятиями. Воспользуемся калькулятором, чтобы найти отношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи: аn/аn-1. Первые несколько результатов имеют мало общего с Ф, но мы продолжим вычисления. Что мы видим? Ответы вдруг начинают приближаться к значению Ф. В следующей таблице видно, что, начиная с десятого члена, каждое частное отличается от предыдущего менее чем на 0,001.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Мы говорим, что число А является пределом последовательности {аn}, если члены последовательности сходятся к А — то есть для достаточно большого номера n все следующие члены последовательности аn приближаются к одному и тому же числу.
Например, последовательность {1/n} имеет предел 0.
(Дробь 1/n с ростом n все более приближается к 0.)
Последовательность {2n/(n+1)} имеет предел 2. Однако не все последовательности имеют пределы.
Таким образом, для нахождения приближенного значения Ф нет необходимости извлекать квадратные корни, достаточно просто делить друг на друга члены последовательности Фибоначчи.
Как всегда в случае с золотым сечением, все эти доказательства указывают на определенный общий результат: предел отношений членов последовательности Фибоначчи равен Ф.
Докажем это. Допустим сначала, что предел отношений членов последовательности Фибоначчи, а именно предел последовательности аn+1/аn равен некоторому числу L. Запишем это следующим образом:
(Напомним, что аn+1 = an + an-1.)
Число L описывается тем же уравнением, что и Ф, поэтому L и Ф должны иметь одинаковое значение. Таким образом, золотое сечение является пределом последовательности отношений чисел Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи начинается с двух единиц. Если вместо этого мы начнем последовательность с любых других равных чисел и построим остальные члены по тому же правилу (каждое число является суммой двух предыдущих), то предел отношений членов такой последовательности всегда будет равен Ф. Заметим, что в приведенном выше доказательстве мы использовали только это условие:
аn+1 = an + an-1
Удивительные числа
Как мы видели, последовательность Фибоначчи позволяет найти приближенное значение числа Ф с любой точностью, вычисляя отношения ее членов. Однако последовательность имеет гораздо больше применений, чем предсказание роста численности популяции кроликов, и она неожиданно появляется в работах других математических гениев. Давайте рассмотрим некоторые из замечательных свойств последовательности Фибоначчи.
Сумма членов последовательности Фибоначчи
Если выбрать любые 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их вместе, всегда получится число, кратное 11. Например, общая сумма первых 10 членов равна:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = 11∙13.
То же самое справедливо и для:
21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 4 147 = 11∙377.
Но это еще не все. Каждая сумма равна числу И, умноженному на седьмой член взятой подпоследовательности: 13 в первом случае и 377 во втором.
А вот еще один сюрприз. Для любого n сумма первых n членов последовательности всегда будет равна разности (n + 2)-го и первого члена последовательности. Мы видим это в случае первых десяти членов, сумма которых равна 143. Это и есть разность двенадцатого члена (144) и первого (1). В случае первых 17 членов общая сумма составляет 4180, что равно девятнадцатому члену а19 (4181) минус 1.
Этот факт выражается следующей формулой:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … аn = аn+2 — 1.
Мы можем использовать этот факт для нахождения суммы любого количества последовательных членов, что для непосвященных выглядит как магия. Например, выберем любые два числа, скажем, 25 и 40, и подставим их в нашу формулу вместо n:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а40 = а42 — 1.
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а25 = а27 — 1.