Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Эта система была выстроена в соответствии с так называемым аксиоматико-дедуктивным методом, который определил путь развития всей современной математики. Бесспорно, если мы тщательно проанализируем утверждения и теоремы, которые предположительно доказаны, то обнаружим некоторые неточности. Например, Евклид использовал принцип, не указанный среди аксиом, согласно которому через две точки можно провести только одну прямую. Но эти ошибки были обнаружены лишь в начале XIX в.[5]

Наибольшая полемика разгорелась вокруг пятого постулата «Начал», так называемой аксиомы параллельности: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»[6]. Этот постулат напоминает теорему, и кажется, что для него можно привести доказательство. Исследователи «Начал» и авторы комментариев понимали, что этот постулат является интуитивным.

Евклид нечасто использует его, как будто хочет избежать: впервые этот постулат используется лишь в двадцать девятой теореме. Это наводит на мысль, что сам Евклид пытался доказать это утверждение, но, убедившись в том, что это невозможно, добавил его к остальным постулатам.

Позднее это побудило математиков исправить этот «дефект» и найти доказательство пятого постулата. Безуспешные попытки продолжались двадцать веков. Тот, кто считал, что доказал этот постулат, в действительности находил другую, эквивалентную формулировку[7]. Многочисленные бесплодные попытки привели к тому, что доказательство пятого постулата стало четвертой знаменитой задачей греческой математики после квадратуры круга, трисекции угла и удвоения куба. Лишь в XIX в. Карл Фридрих Гаусс и Николай Лобачевский окончательно показали, что этот постулат недоказуем. Это удивительное открытие поколебало уверенность в том, что геометрия Евклида является единственно возможной, и проложило путь так называемым неевклидовым геометриям, о которых мы подробно поговорим чуть позже.