Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

В 1975 г. Мандельброт дал фракталам такое определение: фракталы — это фигуры, которые являются результатом повторяющихся математических процессов, описываются не дифференцируемыми функциями, обладают самоподобием в любом масштабе и имеют фрактальную размерность.

Его не полностью устраивало это определение, и в 1982 г. Мандельброт определил фрактал как множество, у которого размерность Хаусдорфа строго больше, чем топологическая размерность. Тем не менее он сам признавал, что это определение недостаточно общее и не описывает отдельные объекты, которые являются фракталами, в частности кривые, покрывающие плоскость, к которым относятся кривая Пеано и кривая Гильберта (о них подробно рассказывается в первой части второй главы)[25].

Можно принять точку зрения Барнсли, который понимал фракталы как аттракторы систем итерируемых функций, а можно придерживаться определения, которое приводит Джудит Седерберг в книге A Course in Modern Geometries («Курс современной геометрии», 2001). Оно звучит так: фрактал — это множество точек, обладающее самоподобием в строго детерминированном или строго стохастическом (случайном) смысле. Множество Мандельброта не удовлетворяет ни одному из этих определений, что может представлять некоторые неудобства (или наоборот). Седерберг пишет по этому поводу:

«Природа (или математическое описание?) множества Мандельброта — это наглядная аналогия того, что в музыке называется «тема с вариациями»: одни и те же шаблоны повторяются повсюду, но всякий раз несколько по-разному… Рассматривая его, мы постоянно будем видеть что-то новое, но при этом снова и снова будут появляться знакомые очертания. Благодаря этой неизменной новизне, множество Мандельброта можно назвать предельным фракталом, так как оно содержит другие фракталы внутри себя. По сравнению с обычными фракталами оно содержит больше элементов, обладает большей гармоничностью, а его неожиданные свойства еще более неожиданны».