Гильберт

Хотя Евклид не был самым изобретательным греческим геометром, а аксиоматический метод был известен и до него, его изложение геометрии вызывало всеобщее восхищение. Однако вскоре математики начали сознавать, что, несмотря на свою красоту и совершенство, работа Евклида содержала некоторые пробелы. Например, принятых аксиом было недостаточно для вывода всех теорем. Иногда попадались другие, несформулированные предположения, особенно связанные с наглядным представлением о невозможности пересечения определённых прямых линий. Кроме того, одна из евклидовых аксиом — постулат о параллельных прямых — казалась уж не такой очевидной и не могла быть принята на веру без доказательства. Один из многочисленных вариантов этой аксиомы, по существу, эквивалентен утверждению, что через любую точку вне данной прямой можно провести ровно одну прямую, не пересекающую данную прямую. Как правило, однако, этот и другие пробелы в евклидовой геометрии были не особенно серьёзными — их можно было легко устранить введением дополнительных аксиом, призванных восполнить явно не сформулированные предположения, либо доказательством сомнительной аксиомы в качестве теоремы или заменой её на более очевидную аксиому, либо, наконец, приведением отрицания этой аксиомы к противоречию. Последний, наиболее хитроумный способ решения проблемы постулата о параллельных прямых впервые ввёл в математику понятие совместности, или непротиворечивости.

По-видимому, Гаусс был первым математиком, который примерно в 1800 году пришёл к мысли, что отрицание евклидова постулата о параллельных прямых не приводит к противоречию и, тем самым, возможны геометрии, отличные от евклидовой. Так как эта идея уж слишком сильно попахивала метафизической спекуляцией, он никогда не публиковал этих исследований и лишь по секрету сообщил о них своим ближайшим друзьям.