Светоч разума. Рациональное мышление в XXI веке
- Автор: Хофштадтер Дуглас, Стурмарк Кристер
- Год: 2022
- Язык: русский
- Год: Corpus
- ISBN: 978-5-17-133038-5
- Переводчик: Татьяна Ю. Лисовская
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Светоч разума. Рациональное мышление в XXI веке». Краткое содержание книги:
В обоих случаях словосочетания, выделенные курсивом, правильны, но в последовательности символов “10 × 10 = 100”, отражающей оба эти высказывания, один раз используется двоичная запись цифр, а другой раз – десятичная. Когда все самосогласованно, подходит любой вариант. Двоичная система счисления – это одно, а десятичная – другое. Каждая из них внутренне самосогласована.
А затем я понял, что равенство “10 + 10 = 100” справедливо (истинно) в двоичной, но неправильно (ложно) в десятичной системе счисления. Конечно, в двоичной системе оно означает “два плюс два равно четырем”, тогда как при десятичной записи чисел получается “десять плюс десять равно ста”. Нет ничего более истинного, чем первое из этих двух утверждений, и ничего более ложного, чем второе!
Для меня, ребенка, это было очень поучительное открытие. Яснее, чем когда-либо прежде, я увидел, насколько символы соответствуют идеям и как их связь, хотя бы и произвольную, можно последовательно детализировать настолько, что полностью независимые наборы идей, выраженные с использованием одних и тех же символов, могут относиться к совсем разным вещам! Это глубоко потрясло и раскрепостило меня!
Впервые когерентная теория истины появилась около 1830 года, когда была открыта неевклидова геометрия. Она отличалась от евклидовой геометрии тем, что один из ее постулатов, сформулированный примерно за две тысячи лет до того, был заменен его отрицанием. Этот постулат, часто называемый евклидовой аксиомой параллельности, звучит так: “Пусть есть прямая l и точка P не на этой прямой, тогда существует одна и только одна прямая, проходящая через P, которая параллельна l”. Это высказывание истинно в рамках системы, известной как геометрия Евклида, но ложно в рамках системы, известной как неевклидова геометрия. Итак, попросту говоря, истинное в одной системе высказывание оказалось ложным в другой, и наоборот. Похоже, это сильный аргумент за то, что истина – понятие относительное!
Да, но не будем слишком торопиться… Оказалось, что термин “линия”, использовавшийся в аксиоме параллельности (и при отрицании ее истинности), в этих двух мирах относится к разным понятиям. Так что на самом деле это не тот случай, когда одно и то же высказывание истинно для одной группы людей и ложно для другой. Например, две евклидовы параллельные прямые всегда находятся на одном расстоянии друг от друга, тогда как расстояние между двумя неевклидовыми параллельными прямыми меняется. Короче, евклидова прямая совсем не одно и то же, что неевклидова прямая, и именно поэтому так увлекательно сравнивать эти две геометрии. Значит, термин “линия”, который используется в обеих геометриях, не относится к одному и тому же понятию. В неевклидовом мире евклидовых прямых не существует, а в мире Евклида нет неевклидовых прямых!
Это не более странно, чем тот факт, что равенство “10 + + 10 = 100” может быть истинным в двоичной системе счисления и ложным в десятичной. Равно как и утверждение “Чикаго на восток отсюда” может быть истинным для одних людей и ложным для других. Причина очень проста: слово “отсюда”, когда его произносит житель Сан-Франциско, не относится к тому же месту, к какому относится, когда его произносит человек в Бостоне – точно так же, как “10” в двоичной системе счисления не означает то же самое число, что “10” в десятичной системе.
Благодаря открытию неевклидовой геометрии (а позднее и других экзотических геометрий) математики и логики свыклись с идеей, что в разных концептуальных вселенных выглядящие одинаково выражения могут иметь разный смысл. Отсюда не следует, что подобные мыслители считали истину относительной – они понимали, что значения некоторых терминов могут разниться в зависимости от контекста: утверждение может быть истинным в одной системе аксиом и ложным в другой. Но эти два утверждения не относятся к одному и тому же. На первый взгляд это напоминает относительность истины, но это не та ситуация, когда истина становится чем-то ненадежным, зависящим от наблюдателя. На самом деле в математике истинность остается понятием центральным и незыблемым.