![Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.) - Читать Любимую Русскую Полную Книгу 👉 Read-E-Book.com](/uploads/posts/books/3/6/1/6/0/sekrety-chisla-pi-pochemu-nerazreshima-zadacha-o-kvadrature-kruga-mir-matematiki-t-7-download.jpg)
Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)
- Автор: Наварро Хоакин
- Год: 2014
- Язык: русский
- Год: ООО «Де Агостини»
- ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0629-1 (т. 7)
- Жанр: Математика
Электронная книга - «Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)». Краткое содержание книги:
|{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11,}| = || = .
Происхождение этого необычного знака таково: (читается «алеф») — первая буква еврейского алфавита. Ноль, указанный как индекс, означает, что речь идет о наименьшем из всех алеф (алеф-нуле). Существует много кардинальных чисел, каждое имеет свой индекс:
Число отражает множества, которые соответствуют . Например, это могут быть четные числа, нечетные числа, числа, кратные 3, кратные 5, и многие другие. Множества, соответствующие , называются счетными, поскольку их элементы можно пронумеровать или подсчитать, как показано ниже:
* * *
ГЕОРГ КАНТОР (1845–1918)
Этот немецкий математик русского происхождения считается одним из величайших умов человечества. Он известен как создатель современной теории множеств и трансфинитных чисел. Его передовые идеи навлекли на себя нападки многих могущественных недоброжелателей, что заметно препятствовало академической карьере Кантора. Депрессии, которым был подвержен Кантор (он умер в психиатрической больнице), вероятно, были вызваны невозможностью проверить некоторые из его гипотез. Сегодня нам известно, что ответов на некоторые вопросы, которыми задавался Кентор, не существует, но определенные методы, которые он использовал в доказательствах, могут по праву называться гениальными.
* * *
Но здесь нас подстерегает множество сюрпризов: бесконечное множество
= {…, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….}
математики называют множеством целых чисел, и является частью . Очевидно, что всякое натуральное число является целым. Но что можно сказать о кардинальных числах этих множеств? Чему равно кардинальное число ? Если мы посмотрим на рисунок ниже, демонстрирующий процесс пересчета целых чисел,
то увидим, что || = || = , поэтому множество также является счетным.
Сделаем еще один шаг вперед: рассмотрим множество дробей, или так называемых дробных чисел. Дробь определяется числителем и знаменателем и записывается в виде а/Ь. Если а кратно Ь, то а/Ь обозначают целым числом с, которое равно делению а на Ь без остатка:
а/Ь = с.
Фактически одним и тем же числом могут обозначаться разные дроби:
756/378 = 524/262 = 6/3 = 2.
Однако очевидно, что существуют и другие дроби, которые нельзя выразить целым числом, например 1/2 или 5/3. Существует больше дробных чисел, чем целых, так как всякое целое число можно представить в виде дроби. Имеем
Символ означает «строгое включение подмножества». Это своеобразная разновидность знака < для множеств.
Множество дробных чисел обозначается буквой . Можно убедиться, что является частью . Или же, если так будет удобнее читателю,
Можно было бы ожидать, что кардинальное число больше, чем кардинальное число , но вы уже видели, что здравый смысл не всегда применим к бесконечности.
Кантор «пронумеровал» дроби с помощью извилистой линии, изобразив нечто похожее на этот рисунок:
Нет никаких сомнений, что на рисунке помещаются все дроби, так как в каждом ряду содержатся все возможные числители, а в каждом столбце — все возможные знаменатели. Если мы хотим найти число а/Ь, то это очень просто сделать, перейдя к строке а и столбцу Ь. Также не вызывает сомнений, что каждой дроби (иными словами, каждому рациональному числу) соответствует последовательность стрелок, идущая к нему. Поэтому достаточно пронумеровать стрелки (1, 2, 3, 4, 5…), чтобы прийти к результату:
Сделаем еще один шаг. Говорят, что число является алгебраическим, когда оно является корнем многочлена
аnхn + аn-1хn-1 +… + а1х + а0,