![Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) - Читать Любимую Русскую Полную Книгу 👉 Read-E-Book.com](/uploads/posts/books/3/5/7/1/9/novyj-vzglyad-na-mir-fraktalnaya-geometriya-mir-matematiki-t-10-download.jpg)
Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)
- Автор: Басса Мария Изабель Бинимелис
- Год: 2014
- Язык: русский
- Год: ООО «Де Агостини»
- ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0623-9 (т. 7)
- Жанр: Математика
Электронная книга - «Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)». Краткое содержание книги:
В своем докладе Клейн попытался дать формальное определение геометрии, выйдя за рамки интуитивных представлений. Он систематизировал множество появившихся в то время разделов геометрии в так называемой эрлангенской программе, где привел их классификацию в зависимости от свойств, которые остаются неизменными для определенных групп преобразований[12]. Понятие группы было известно до Клейна, но именно он открыл фундаментальную взаимосвязь геометрии и групп преобразований. Так, евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, которые не изменяются при движениях без деформации. К подобным движениям, которые называются изометрическими преобразованиями (в переводе с греческого «изометрия» означает «равного размера»), относится перенос, симметрия, вращение и их композиции. Инвариантами этих преобразований являются, к примеру, расстояние между точками, площадь поверхности, углы между прямыми и так далее.
Аналогично аффинная геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно аффинных преобразований (к ним относятся изометрические преобразования, растяжения и сжатия). Проективная геометрия изучает свойства, инвариантные относительно группы проекций, топология занимается изучением инвариантов непрерывных преобразований.
Помимо прочего, Клейн доказал, что евклидову геометрию, аффинную геометрию и неевклидовы геометрии можно считать частными случаями проективной геометрии. Если не вдаваться в детали, то доказательство основано на рассмотрении преобразований проективного пространства, которые оставляют неизменным определенное коническое сечение, называемое абсолютным. В зависимости от типа конического сечения результатом будет тот или иной раздел геометрии.
Если оставить в стороне технические вопросы, то это утверждение приводит к очень важному результату: геометрия Евклида является согласованной (непротиворечивой) тогда и только тогда, когда непротиворечивыми являются неевклидовы геометрии. Так был положен конец спорам о том, имеют ли смысл неевклидовы геометрии. Тем не менее еще несколько лет вопрос оставался открытым, так как некоторые исследователи считали рассуждения Клейна ошибочными.
Эрлангенская программа открыла путь к изучению абстрактных геометрических пространств. Теперь математики могли не ограничиваться фигурами на плоскости или в трехмерном пространстве. Стало возможным изучать множество измерений и переменные, которые не обязательно являются пространственными. Например, можно говорить о пространстве переменных термодинамики, описывающих состояние газа, которое может иметь больше трех измерений: давление, объем, температуру и различные концентрации веществ, из которых состоит газ. Мы можем изучать геометрические свойства этих переменных, но уже с абстрактной точки зрения.
Если мы попытаемся описать Вселенную с помощью фигур, которые изучал Евклид, то столкнемся со множеством ограничений. Фигуры геометрии природы очень далеки от идеальных фигур евклидовой геометрии.
В начале XIX в. шотландский ботаник Роберт Броун исследовал каплю жидкости, которая осталась в магматической породе при ее затвердевании. Изучив каплю под микроскопом, Броун увидел следы мельчайших частиц, которые безостановочно совершали абсолютно хаотичные колебания. Он уже наблюдал подобное движение, когда изучал движение частичек пыльцы в воде. Броун дал этому явлению такое объяснение: жизненная сила молекул растения сохранилась спустя много лет после его смерти. Однако впоследствии это объяснение было признано неубедительным. Броун начал склоняться к мысли, что подобные колебания, получившие название броуновского движения, имеют физическую, а не биологическую природу. Например, с уменьшением размеров частиц или с ростом температуры скорость движения частиц увеличивалась.
Лишь в 1905 г. Альберт Эйнштейн изучил броуновское движение с точки зрения кинетической теории газов, разработанной Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом. В наши дни это явление объясняется следующим образом: частица пыльцы, погруженная в жидкость, соударяется с молекулами жидкости, и при каждом соударении траектория частицы изменяется. С одной стороны, отклонения ее движения произвольны, с другой стороны, так как микроскоп позволяет увидеть только колебания определенной величины, истинная траектория частицы намного сложнее наблюдаемой.
12
Чтобы множество, на котором определена некая операция, являлось группой, должны выполняться следующие условия. Операция должна обладать свойством ассоциативности; это означает, что для любых трех элементов множества а, b, с результат операции не зависит от того, в каком порядке группируются элементы. Далее, должен существовать нейтральный элемент; иными словами, множество должно содержать такой элемент е, что результатом операции над этим элементом и любым другим элементом а этого множества всегда будет элемент а.
Наконец, для каждого элемента должен существовать обратный. Это означает, что для любого элемента а этого множества должен существовать элемент a-1 этого же множества, такой, что результатом операции над элементом а и обратным ему будет нейтральный элемент.