Гильберт
- Автор: Рид Констанс
- Год: 1977
- Язык: русский
- Год: Наука
- Переводчик: Игорь Владимирович Долгачев
- Жанр: Биографии и мемуары
Электронная книга - «Гильберт». Краткое содержание книги:
Рассчитанная на самый широкий круг читателей, книга будет интересна не только любителям математики, но и всем, кто интересуется историей науки.
I. (?p, K) = 1 тогда и только тогда, когда ?p является p-адической нормой.
II. Для данного простого идеала p (?p, K) = 1 для каждой p-адической единицы ?p тогда и только тогда, когда p неразветвлён.
Выше уже были установлены условия достаточности из I и II:
(I0) если ?p — норма, то (?p, K) = 1;
(II0) если p неразветвлён, то (?p, K) = 1 для каждой p-адической единицы ?p.
Обратное утверждение к (I0) тривиально для неисключительных точек, но для исключительных точек из-за неявного определения норменного символа доказательство обратных утверждений к (I0) и (II0) довольно сложно. Утверждение II показывает, что для любого простого разветвлённого идеала p норменный характер ?p зависит не только от порядка ?p; тем самым то простое свойство, которое делает возможным определение (6), распространяется только на неразветвлённые идеалы p. Можно было бы надеяться также на справедливость утверждения:
III. Если главный идель ? является идельной нормой в поле K, то число ? есть норма в K.
Это верно для циклических полей K/k, но, вообще говоря, неверно для произвольных абелевых полей.
Обозначим снова через Nm JK подгруппу группы Jk, состоящую из иделей, эквивалентных нормам. Тогда норменный символ ?K(?) = (?, K) определяет гомоморфное отображение факторгруппы Jk/Nm JK в группу Галуа поля K/k. Можно было бы надеяться, что это отображение взаимно однозначно:
IV. Отображение норменного символа устанавливает изоморфизм факторгруппы Jk/Nm JK на группу Галуа поля K/k.
Утверждения I, II, IIIc (индекс c означает ограничение циклическими полями) и IV составляют основные предложения того, что можно назвать норменной теорией относительных абелевых полей. Они справедливы для каждого такого поля K/k.
Имеется другая часть этой теории, собственно теория полей классов, которая относится к вопросу о связи множества всевозможных относительных абелевых полей K над k со структурой группы Jk иделей поля k. Каждое такое поле K определяет, как мы видели выше, подгруппу конечного индекса Nm JK группы Jk. Возникает вопрос: какие именно подгруппы Jk* группы Jk получаются таким способом из абелевых полей K/k? Ясно, что необходимыми условиями являются следующие:
1)
Каждый главный идель принадлежит Jk*.
2)
Существует такое натуральное число n, что каждая n-я степень иделя принадлежит Jk*.
3)
Существует такое конечное множество точек S, что ?IJk*, если ? является единицей во всех точках и равно 1 для точек из S.
Основная теорема теории полей классов утверждает, что эти условия являются также и достаточными.
V. Для любой подгруппы Jk* группы Jk, удовлетворяющей трём предыдущим условиям (и, в частности, конечного индекса), существует однозначно определённое абелево поле K/k такое, что Jk* = Nm JK.
Разобьём множество иделей на классы, относя два иделя к одному классу, если их частное принадлежит группе Jk*. Тогда факторгруппа Jk/Jk* называется группой классов, а соответствующее поле K — полем классов. Самый важный пример получается, если взять за Jk* группу всех единичных иделей ?, значения ?p которых являются p-адическими единицами во всех простых точках p 12. В этом случае соответствующие классы совпадают с обычными классами идеалов: два идеала принадлежат одному классу, если их частное является главным идеалом (?), где число ? положительно для всех вещественных бесконечных простых точек. Соответствующее поле классов K, так называемое абсолютное поле классов, имеет относительный дискриминант, равный единице, и представляет собой максимальное неразветвлённое абелево поле над k (теорема II). Его степень n над k равна числу классов идеалов, а группа Галуа изоморфна группе классов идеалов поля k (теорема IV). Если f — наименьшая степень, после возведения в которую идеал p попадает в подгруппу главных идеалов, то p разлагается в произведение n/f различных простых идеалов в K, каждый из которых имеет относительную степень f . Последнее утверждение есть не что иное, как повторение норменного определения поля классов. Таким образом, разложение идеала p в поле K зависит только от того класса, к которому принадлежит p. Замена идеалов на идели даёт самый простой подход к обобщению этой теоремы с неразветвлённого случая, которым в основном занимался Гильберт, на разветвлённый случай, изученный Такаги. Гильберт высказал, кроме того, утверждение, что каждый идеал поля k становится главным в абсолютном поле классов. Мы умеем сегодня доказывать это утверждение, однако с помощью ещё не понятых до конца рассуждений, выходящих за рамки абелевых полей.