Гильберт
- Автор: Рид Констанс
- Год: 1977
- Язык: русский
- Год: Наука
- Переводчик: Игорь Владимирович Долгачев
- Жанр: Биографии и мемуары
Электронная книга - «Гильберт». Краткое содержание книги:
Рассчитанная на самый широкий круг читателей, книга будет интересна не только любителям математики, но и всем, кто интересуется историей науки.
Гёдель, никогда не встречавшийся и не переписывавшийся с Гильбертом, чувствует, что гильбертовы принципы оснований математики «остаются чрезвычайно интересными и важными, несмотря на мои отрицательные результаты».
И добавляет: «Единственное, что было показано, что та специальная эпистемологическая цель, которую преследовал Гильберт, не может быть достигнута. В его намерения входило установить непротиворечивость аксиом классической математики на основе доказательств, столь же конкретных и убедительных, как и элементарная арифметика.
Однако, если подойти к этому с чисто математической точки зрения, доказательства непротиворечивости на основе подходящих более сильных математических предпосылок (как у Генцена или других) также представляют интерес и ведут к чрезвычайно важному проникновению в структуру теории доказательств в математике. Кроме того, остаётся открытым вопрос, можно ли, или до какой степени можно, дать «конструктивное» доказательство непротиворечивости классической математики на основе формалистского подхода, т.е. заменить её аксиомы об абстрактных сущностях объективного платонистского мира пониманием конкретных операций нашего мышления.
Что касается моих отрицательных результатов, то, оставляя в стороне их философское значение, я вижу их важность главным образом в том, что во многих случаях они позволяют оценивать или предсказывать возможность осуществления какой-нибудь специальной части гильбертовой программы на основе данных математических предположений».
Гёдель, кроме того, чувствует, что, «оценивая значение работы Гильберта по континуум-гипотезе, часто забывают, что, с точностью до деталей, одна его чрезвычайно важная общая идея оказалась абсолютно верной — именно то, что континуум-гипотеза потребует для своего решения совершенно новых методов, связанных с основаниями математики. В частности, отсюда, по-видимому, следует (хотя явно этого Гильберт и не указывал), что континуум-гипотеза не выводится из обычных аксиом теории множеств».
В результате восторженного отношения Гильберта к проблемам математической логики и основаниям математики создалась целая новая область науки — метаматематика, надматематика.
«Будущий историк науки, интересующийся развитием математики конца XIX и первой половины XX века, без сомнения, отметит, что многие разделы математики своим бурным развитием в этот период во многом обязаны достижениям Гильберта, — писал Альфред Тарский. — С другой стороны, ему придётся, быть может с некоторым удивлением, признать, что влияние этого человека так же сильно и мощно проявляется в некоторых других областях, которые не были особенно существенно затронуты его собственными исследованиями. Одним из таких примеров служат основания геометрии. Я далёк от недооценки значения вклада Гильберта... в его [Основаниях геометрии], но я думаю, что его самой существенной заслугой явился тот стимул, который он дал организованным исследованиям в этой области. Ещё более поразительным примером служит метаматематика. Отдельные исследования в этой области были и до речи Гильберта в Париже; первые положительные и действительно глубокие результаты появились до того, как Гильберт начал свою постоянную работу в этой области... и трудно сразу же связать с его именем какой-нибудь конкретный и важный математический результат. Тем не менее Гильберт заслуженно считается отцом метаматематики. Действительно, именно он создал метаматематику как самостоятельную науку; он боролся за её право на существование, имея за собой всю свою репутацию великого математика. Он также был тем, кто очертил её будущий курс и поставил перед ней честолюбивые цели и важные задачи. Это верно, что ребёнок не оправдал всех надежд своего отца и не стал вундеркиндом. Но он развивался нормально, рос здоровым и стал нормальным членом великой математической семьи, и я не думаю, что у его отца есть какие-нибудь причины стыдиться своего отпрыска...»
В 1950 году Американское математическое общество обратилось с просьбой к Герману Вейлю подытожить историю математики за первую половину XX столетия. Отвечая, он писал, что, если бы терминология парижских проблем не была столь специальной, он смог бы выполнить требуемое задание исключительно в терминах тех проблем Гильберта, которые были решены либо частично решены, — «схема, по которой математики часто измеряли наш прогресс» в течение прошедших пятидесяти лет. «Насколько лучше он предсказал будущее математики, чем любой политик смог предвидеть последствия войн и террора, которые должно было обрушить на человечество новое столетие».